Dado el punto P(2,3,0) obtener:
a) Su simétrico respecto de la recta $r\equiv \frac{x-1}{2}=y-2=\frac{z-1}{2}$
b) Su simétrico respecto al plano $\pi\equiv x+y+z=1$
Simétrico respecto de una recta
a) Obtenemos el plano α que contiene el punto P(2, 3, 0) y es perpendicular a r:
$\vec{n}=\vec{r}=(2,1,0)$
$\alpha \equiv 2x+y+2z + D = 0 $
$\alpha \equiv 2x+y+2z-7 = 0$
Pasamos r a sus ecuaciones paramétricas:
$r\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x=1+2\lambda\\y=2+\lambda\\z=1+\lambda \end{array} \right.$
Y obtenemos la intersección de α y r:
$\alpha(r) \rightarrow 2·(1+2\lambda)+2+\lambda+2·(1+2\lambda)-7=0$
$2+4\lambda+2+\lambda+2+4\lambda-7=0$
$9·\lambda = 1\rightarrow \lambda = \frac{1}{9}$
$M=\left\{ \begin{array}{lcc} x=1+2·\frac{1}{9}=11/9\\y=2+\frac{1}{9}=19/9\\z=1+2·\frac{1}{9}=11/9 \end{array} \right.$
El punto M (11/9, 19/9, 11/9) es el punto medio entre P y su simétrico P’.
$M=\frac{P+P’}{2} \rightarrow (11/9, 19/9, 11/9) = \frac{(2, 3, 0) +(a, b, c)}{2}$
$11/9 = \frac{2+a}{2} \rightarrow 22/9 = 2+a \rightarrow a = 22/9 -2 = 4/9$
$19/9 = \frac{3+b}{2} \rightarrow 38/9 = 3+b \rightarrow b = 38/9 -3 = 11/9$
$11/9 = \frac{0+c}{2} \rightarrow c = 22/9$
Por tanto, el simétrico de P, pedido es P’ (4/9, 11/9, 22/9)
Simétrico respecto de un plano
b) Obtendremos la recta s que es perpendicular al plano π y pasa por P:
$\vec{s} = \vec{n} = (1, 1, 1)$
$s\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x=2+\lambda\\y=3+\lambda\\z=\lambda \end{array} \right.$
Ahora calculamos el punto M de intersección entre s y π:
$\pi(s)\equiv 2+\lambda+3+\lambda+\lambda = -1 \rightarrow 3\lambda = -6 \rightarrow \lambda = -2$
$M(\lambda=2)\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x=2-2=0\\y=3-2=1\\z=-2 \end{array} \right. \rightarrow M(0, 1, -2)$
El punto M(0, 1, -2) es el punto medio entre P y su simétrico P’:
$M=\frac{P+P’}{2} \rightarrow (0, 1, -2) = \frac{(2,3,0)+(a,b,c)}{2}$
$0 = 2+a \rightarrow a = -2$
$1 = \frac{3+b}{2} \rightarrow 2 = 3 + b \rightarrow b= -1$
$-2= \frac{0+c}{2} \rightarrow c = -4$
El punto simétrico de P pedido es P'(-2, -1, -4).