CURSO 2024 – 2025
PROBLEMA 4 – MODELO.- Según los datos de la Comunidad de Madrid, en la temporada 2021-2022 la cobertura de la vacuna de la gripe entre mayores de 65 años fue de un 73.2 %.
a) (1.5 puntos) Ante una situación de brote epidémico, las autoridades deciden restringir aquellas reuniones en las que la probabilidad de que haya mas de una persona no vacunada sea mayor de 0.5. Suponiendo que los asistentes a una reunión suponen una muestra aleatoria, ¿se deberían restringir las reuniones de 5 personas mayores de 65 años? ¿Y las reuniones de 7 personas mayores de 65 años?
b) (1 punto) Se toma una muestra aleatoria de 500 personas mayores de 65 años. Calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 350 de ellos estén vacunados contra la gripe.
SOL: a) 0,405; b) 0,9525
CURSO 2023 – 2024
PROBLEMA A4 – ORDINARIA COINCIDENTES.- Para conocer la opinión de los usuarios sobre su servicio, la empresa de transporte público de una ciudad ha ́realizado una encuesta. De esa encuesta se desprende que la nota global otorgada al servicio por sus usuarios se puede considerar una normal de media 6.7 y de desviación típica 1.25. Si un usuario da una nota menor que 5 se considera que ve como insatisfactorio el servicio; si la nota esta entre 5 y 7.5, que para el usuario el servicio es satisfactorio; y si la nota es mayor que 7.5, que el servicio es excelente.
a) (0.75 puntos) Elegido un usuario al azar, ¿Qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es excelente?
b) (1 punto) Elegido un usuario al azar, ¿Qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es satisfactorio?
c) (0.75 puntos) Para conocer de forma mas directa la opinión de sus usuarios, de entre todos ellos la empresa convoca a 25 elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de entre los convocados ́consideren el servicio insatisfactorio?
sol: a) 0,2611; b) 0,652; c) 0,6518
PROBLEMA B4 – EXTRAORDINARIA.- Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quien friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta el centro de la diana en el 25 % de sus lanzamientos y Benito en el 30 %, se pide:
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quien friega.
b) (1.5 puntos) Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de 60 lanzamientos.
SOL: a) 0,01675; b) 0,9495
CURSO 2022 – 2023
PROBLEMA A4 – MODELO.- Una empresa complementa el sueldo de sus empleados según la consecución de ciertos objetivos valorados en ́función de una puntuación que sigue una distribución normal ́ N(100; 35). Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular el porcentaje de empleados con una puntuación comprendida entre 100 y 140.
b) (0.75 puntos) Hallar la probabilidad de que un trabajador obtenga una puntuación inferior a 95 puntos.
c) (1 punto) Determinar la puntuación mínima necesaria para cobrar los objetivos si el 75.17 % de la plantilla ha recibido dicho incentivo.
SOL: a) 0,3729; b) 0,4443; c) 76,2
PROBLEMA B4 – ORDINARIA.- La longitud de la sardina del Pacifico (Sardinops sagax) se puede considerar que es una variable aleatoria con distribución normal de media ́ 175 mm y desviación típica 25.75 mm.
a) (1 punto) Una empresa envasadora de esta variedad de sardinas solo admite como sardinas de calidad aquellas con una longitud superior a 16 cm. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas por un buque pesquero serán de la calidad que espera la empresa envasadora?
b) (0.5 puntos) Hallar una longitud t < 175 mm tal que entre t y 175 mm estén el 18 % de las sardinas capturadas.
c) (1 punto) En altamar se procesan las sardinas en lotes de 10. Posteriormente se devuelven al mar las sardinas de cada lote que son menores de 15 cm por considerarlas pequeñas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña?
SOL: a) 0,719; b) t=163 mm; c) 0,8372
PROBLEMA A4 – ORDINARIA COINCIDENTES.- En los juegos de rol, cada vez que se lanza un ataque este puede resultar en golpe crıtico o no.
a) (1.25 puntos) En cierto juego de rol, para determinar si un ataque es crıtico o no, se tira una moneda a cara o cruz. Si se obtiene una cruz, el ataque no será crıtico. Por contra, si se obtiene una cara, entonces se lanza un dado de 10 caras numeradas del 1 al 10. Solo en caso de que también se obtenga una puntuación mayor o igual a 9 en el dado el ataque es crıtico; en caso contrario el ataque no será crıtico. Calcule la probabilidad de que, de entre 5 ataques lanzados, se obtengan 3 o menos golpes críticos.
b) (1.25 puntos) En otro juego de rol se sabe que la probabilidad de ataque crıtico es del 20 %. Aproximando mediante una distribución normal, calcule la probabilidad de que, de entre ́ 100 ataques, se obtengan no menos de 15 y no mas de 25 golpes críticos.
SOL: a) 0,99954; b) 0,8324
PROBLEMA B4 – EXTRAORDINARIA.- El 65 % de los universitarios de 18 anos que intentan superar el examen practico de conducir lo consigue a la primera. Se escogen al azar 10 universitarios de 18 anos que ya han superado el examen practico de conducir.
Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente 3 de ellos necesitaran mas de un intento para superar el examen practico de conducir.
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos haya necesitado mas de un intento para superar el examen practico de conducir.
c) (1 punto) Aproximando por una distribución normal, determinar la probabilidad de que, dados 60 de estos universitarios, como mínimo la mitad superase el examen practico de conducir a la primera.
SOL: a) 0,252; b) 0,987; c) 0,9949
CURSO 2021 – 2022
PROBLEMA A4 – ORDINARIA. – Según el Instituto Nacional de Estadística, durante el último trimestre de 2020, el porcentaje de mujeres que pertenecía al conjunto de Consejos de Administración de las empresas que Componen el Ibex-35 fue del 27.7 %. Se reunieron 10 de estos consejeros.
a) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que la mitad fueran mujeres.
b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que hubiese al menos un hombre.
c) (1 punto) Determine, aproximando mediante una distribución normal, la probabilidad de que en un congreso de doscientos consejeros de estas empresas hubiera como mÍnimo un 35 % de representación femenina.
SOL: a) 0,0812; b) 0,9999; c) 0,0129
PROBLEMA A.4. – EXTRAORDINARIA COINCIDENCIAS.- En una comunidad autónoma tres de cada cinco alumnos de segundo de bachillerato están matriculados en la asignatura de Matemáticas II. Se eligen 6 alumnos al azar de entre todos los alumnos de segundo de bachillerato.
Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente cuatro de ellos estén matriculados en Matemáticas II.
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos este matriculado en Matemáticas II.
c) (1 punto) Si en un instituto hay matriculados en segundo de bachillerato 120 alumnos, calcular, aproximando la distribución binomial mediante una distribución normal, la probabilidad de que m ́ as de 60 de estos alumnos estén matriculados en Matemáticas II.
SOL: a) 0,3110; b) 0,9959; c) 0,9838
CURSO 2020 – 2021
PROBLEMA A4- MODELO.- En un instituto uno de cada cuatro alumnos practica baloncesto. Se eligen 6 alumnos al azar y se considera la variable aleatoria X que representa el numero de estudiantes entre estos 6 que practican baloncesto. Se pide:
a) (1 punto) Identificar la distribución de la variable aleatoria X y calcular P(X = 0).
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que al menos 5 de los 6 elegidos practiquen baloncesto.
c) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que al menos 1 de los 6 practique baloncesto.
SOL: a) B(6,0.25), 0,18; b) 0,0046; c) 0,82
PROBLEMA A4 – ORDINARIA.- El tiempo de vida de los individuos de cierta especie animal tiene una distribución normal con una media de 8.8 meses y una desviación típica de 3 meses.
a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de individuos de esta especie supera los 10 meses? ¿Qué porcentaje de individuos ha vivido entre 7 y 10 meses?
b) (1 punto) Si se toman al azar 4 especímenes, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno no supere los 10 meses de vida?
c) (0.5 puntos) ¿Qué valor de c es tal que el intervalo (8.8 − c, 8.8 + c) incluye el tiempo de vida (medido en meses) del 98 % de los individuos de esta especie?
SOL: a) 0,3811; b) 0,9859; c) 6,99
PROBLEMA B4 – EXTRAORDINARIA.- Según las estadísticas meteorológicas, en una ciudad nórdica llueve un promedio del 45% de los días. Un climatólogo analiza los registros pluviométricos de 100 días elegidos al azar entre los de los últimos 50 años.
a) (1 punto) Exprese como calcular con exactitud la probabilidad de que en 40 de ellos haya llovido.
b) (1.5 puntos) Calcule dicha probabilidad aproximándola mediante una normal.
SOL: a) $\binom{100}{40} 0.45^{40} 0.55^{60}$ ; b) 0,0506
CURSO 2019 – 2020
PROBLEMA B4 – MODELO.- En cierta ciudad se estima que la temperatura máxima de cada día, en el mes de junio, sigue una distribución normal de media 30ºC y varianza 25. Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un día cualquiera del mes la temperatura máxima esté entre 28ºC y 32ºC.
b) (1 punto) Calcular el numero esperado de días del mes con máxima superior a 36ºC.
c) (0.75 puntos) Determinar la temperatura máxima alcanzada el día 10 de junio, sabiendo que dicha temperatura fue superada exactamente el 50% de los días del mes.
SOL: a) 0,3108; b) Entre 3 y 4 días; c) 30ºC