Ejercicio resuelto Movimiento Circular Uniformemente Acelerado
Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va
moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que, a los 50 s de iniciada la
marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad.
Calcula:
a) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento.
b) La aceleración normal en el momento de cumplirse los 50 s.
c) La longitud de pista recorrida en los 50 s.
d) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista con velocidad constante.
e) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento
SOLUCIÓN:
En primer lugar, pasaremos la velocidad de 36 km/h al sistema internacional:
$36km/h·\frac{1h}{3600s}·\frac{1000m}{1km}=10 m/s$
a) Aceleración tangencial y angular
$a_t=\frac{v-v_0}{t}=\frac{10-0}{50}=0,2 m/s^2$
$a_t=r·\alpha \rightarrow \alpha = \frac{a_t}{r}=\frac{0,2}{50}=4·10^{-3} rad/s^2$
b) Aceleración normal
$a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{10^2}{50}=2 m/s^2$
c) Longitud de pista
$\phi=\phi _0+w_0·t+\frac{1}{2}·\alpha·t^2 = \frac{1}{2}·4·10^{-3}·50^2 = 5 rad$
Para obtener la longitud de 5 rad: $5 rad·\frac{50 m}{1 rad}= 250 m$
Recordemos que el radián es la medida del ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.
d) Tiempo en dar una vuelta a velocidad constante
Lo primero que haremos será pasar velocidad lineal a velocidad angular:
$v=r·\omega \rightarrow \omega = \frac{v}{r}=\frac{10}{50} = 0,2 rad/s$
$\phi = \omega·t \rightarrow t=\frac{\phi}{\omega}=\frac{2·\pi}{0,2}=31,4s$
e) Número de vueltas en 10 minutos
Pasamos el tiempo a segundos: 600 s.
De esos 600 s, en los primeros segundos 50 s recorre 250 m, es decir, 5 rad que expresado en número de vueltas es: $\frac{5}{2·\pi}= 0,87 vueltas.
En los 550 s restantes dará: $\frac{550}{31,4} = 17,52 vueltas.
Así pues, en total: 0,87 + 17,52 = 18,38 vueltas.