MODELO 2016. EVAU MATES II. OPCIÓN A
A4.- Dados los puntos $P(1, 1, 3)$ y $Q(0, 1, 1)$, se pide:
a) Hallar todos los puntos $R$ que equidistan de $P$ y $Q$. Describir dicho conjunto de puntos.
b) Hallar los puntos $S$ contenidos en la recta que pasa por $P$ y $Q$ que verifiquen que $d(P,S)=2d(Q,S)$.
$P(1, 1, 3)$ $Q(0, 1, 1)$
a) $\vec{PQ}=(-1, 0, -2) π:-x-2z+D=0$
$M=\frac{P+Q}{2}=\frac{1+0,1+1,3+1}{2}=(\frac{1}{2}, 1, 2)$
$π:-\frac{1}{2}-2·2+D=0→\frac{-9}{2}+D=0→D=\frac{9}{2}$
$π:-x-2z+\frac{9}{2}=0→π:2x+4z-9=0$
b) $s=(1,0,2)$
$Q=(0,1,1)$
$s=\left\{ \begin{array}{lcc}x=λ\\ y=1\\z=1+2λ \end{array} \right.$
$S(λ,1,1+2λ)$
$d(P,S)=\sqrt{(λ-1)^2+(1+2λ-3)^2}=\sqrt{λ^2-2λ+1+4λ^2-8λ+4}$
$2d(Q,S)=2\sqrt{λ^2+(1+2λ-1)^2}=2\sqrt{λ^2+4λ^2}=2\sqrt{5}λ$
$5λ^2-10λ+5=20λ^2→15λ^2+10λ-5=0→3λ^2+2λ-1=0$
$λ=\frac{-2+-\sqrt{4+12}{2·3}=\frac{-2+-4}{6}$
$\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\frac{-6}{6}=-1$
$S(1/3, 1, 5/3) S(-1, 1, -1)$