A.1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real $m$: (2.5 puntos).
$\left\{ \begin{array}{lcc}x-2my+z=1\\ mx+2y-z=-1\\x-y+z=1 \end{array} \right.$
a) Discuta el sistema en función de los valores de $m$. (2 puntos).
b) Resuelva el sistema para el valor $m=\frac{1}{2}$. (0.5 puntos).
a) \begin{equation} \begin{vmatrix} 1 & -2m & 1\\ m & 2 & -1\\ 1 & -1 & 1\end{vmatrix} = 2 + 2m -m-2+2m^2-1 = 0 \rightarrow 2m^2+m-1=0\end{equation}
A.2. Sea la función $f(x)=\left\{ \begin{array}{lcc}x^3e^{-1/x^2} & si & x≠0\\ 0 & si & x=0 \end{array} \right.$ (2.5 puntos).
a) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$. (1 punto).
b) Estudie si $f(x)$ representa algún tipo de simetría par o impar. (0.5 puntos).
c) Calcule la siguiente integral: $\int_1^2 \frac{f(x)}{x^6} \mathrm{d}x $.
a) $f(0)=0$\\\limxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
La función es continua en $x=0$
$f´(x)=3x^2·e^{-1/x^2}+x^3·e^{-1/x^2}=e^{-1/x^2}\frac{2x}{x^4}=e^{-1/x^2}(3x^2+2)$
$f´(0^{+})=0, $ $f´(0^{-})=0$
Es derivable en $x=0$
b) $f(x)=x^{3}·e^{-1/x^{2}}$, $f(-x)=(-x)^{3}·e^{-1/(-x)^{2}}=-x^{3}·e^{-1/x^{2}}$
Por tanto, $f(x)=-f(-x)$ se trata de simetría impar.
c) $\int_1^2\frac{f(x)}{x^{6}}\mathrm{d}x=\int_1^2\frac{x^{3}·e^{-1/x^{2}}}{x^{6}}\mathrm{d}x=\int_1^2\frac{e^{-1/x^2}}{x^{3}}\mathrm{d}x$
La derivada de $\frac{-1}{x^{2}}$ es $\frac{2x}{x^{4}}=\frac{2}{x^{3}}$, por tanto,
$\frac{1}{2}\int_1^2\frac{2}{x^{3}}·e^{-1/x^{2}}\mathrm{d}x= \frac{1}{2}[e^{-1/x^{2}}]^{2}_1=\frac{1}{2}[e^{-1/2^2}-e^{-1/1^2}]= \frac{1}{2}(\frac{1}{e^{4}}-\frac{1}{e})=\frac{1}{2}·\frac{1-e^{3}}{e^{4}}$
A.3. Con un dispositivo láser situado en el punto $P(1, 1, 1)$ se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones $r \equiv \left\{ \begin{array}{lcc}2x-y=10\\ x-z=-90 \end{array} \right.$
a) Calcule un vector director de $r$ y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide en el plano $z=0$. (0.5 puntos).
b) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser. (1.25 puntos).
c) Determine el ángulo entre el plano de ecuación $x+y=2$ y la recta $r$. (0.75 puntos).
A.4. Según el Instituto Nacional de Estadística, durante el último trimestre del 2020, el porcentaje de mujeres que pertenecía al conjunto de Consejos de Administración de las empresas que componen el Ibex-35 fue el 27.7%. Se reunieron 10 de estos consejeros. (2.5 puntos).
a) Halle la probabilidad de que la mitad fueran mujeres. (0.75 puntos).
b) Calcule la probabilidad de que hubiese al menos un hombre. (0.75 puntos).
c) Determine, aproximando mediante una distribución normal, la probabilidad de que en un congreso de doscientos consejeros de estas empresas hubiera como mínimo un 35% de representación femenina. (1 punto).
$B(10,0.277)$
a) $P(x=5)=\binom{10}{5}·0,277^5·0,723^5=0,0812$
b) $P(x<10)=1-P(x=10)=1-\binom{10}{10}·0,277^10·0,723^0=0,999$
c) $B→N(n·p,\sqrt{npq}=N(55,4;6,33)$
$n·p=200·0,277=55,4$
$\sqrt{npq}=\sqrt{55,4·0,723}=6,33$
$35\%·200=70\thinspace mujeres$
$P(x≥Z)=P(x≥70)=P(x´≥\frac{69,5-55,4}{6,33})=P(x´≥2,23)=1-P(x´<2,23)=1-09871=0,0129$
B.1. Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de 9450 euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de 45 años. Sabiendo que en el reparto del premio Pablo recibe 420 euros más que Alicia, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio. (2.5 puntos).
B.2. Sea la función $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$. (2.5 puntos).
a) Compruebe si $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$. (0.5 puntos).
b) Calcule y clasifique los extremos relativos de $f(x)$ en $R$. (1 punto).
c) Determine el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1,1]$. (1 punto).
$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
a) Teorema de Bolzano:
Continúa entre $(-1,1)$ al ser una función racional que no se anula el denominador en el intervalo. De hecho no se anula en todo $R$.
$f(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}>0$
$f(-1)=\frac{-1}{(-1)^2+1}=-\frac{1}{2}<0$
Por tanto, cumple las condiciones.
b) $f´(x)=\frac{(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+1}{x^2+1}$
$f´(x)=0→-x^2+1=0→x^2=1→x=\pm1$
\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline
& (-\infty, -1) & (-1, 1)& (1,\infty) \\ \hline
f'(x) & – & + & – \\ \hline
f(x) & DECRECIENTE & CRECIENTE & DECRECIENTE \\ \hline
\end{array}
En $x=-1$ hay un número relativo porque pasa de decreciente a creciente.
En $x=1$ hay un máximo relativo porque pasa de creciente a decreciente.
c) El área entre $f(x)$ y $OX$:
$\int f(x)·dx=\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}ln|x^2+1|+C$
La función cambia de signo en:
$\frac{x}{x^2+1}=0→x=0$, por tanto:
$S= | \int_{-1}^{0} f(x)·dx | + | \int_{0}^{1} f(x)·dx | = \frac{1}{2} ·|[ln|x^2+1|]_{-1}^{0}| + \frac{1}{2} ·|[ln|x^2+1|]_{0}^{1}| = $
$ = \frac{1}{2} ·|(ln 1 – ln 2)| + \frac{1}{2} ·|(ln 2 – ln 1)| = \frac{1}{2} ln 2 + \frac{1}{2} ln 2 = ln 2 $
B.3. Sean el plano $π≡x+y+z=1$, la recta $r_1\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x=1+\lambda\\ y=1-\lambda, \\z=-1 \end{array} \right.$ $λ∈R$ y el punto $P(0, 1, 0). (2.5 puntos).
a) Verifique que la recta $r_1$ está contenida en el plano $π$ y que el punto $P$ pertenece al mismo plano. (0.5 puntos).
b) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano $π$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $r_1$. (0.75 puntos).
c) Calcule una ecuación de la recta, $r_2$, que pase por $P$ y sea paralela a $r_1$. Halle el área de un cuadrado que tenga dos des sus lados sobre las rectas $r_1$ y $r_2$.
B.4. De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si el sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene 2 blancos, 2 negros y 5 con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un pañuelo de otro cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 4 negros y 4 con cuadros blancos y negros. Se pide: (2,5 puntos).
a) Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero. (1 punto).
b) Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro. (0.5 puntos).
c) Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros. (1 punto).