Ejercicios de Geometría Analítica en el Espacio. Tema de Vectores.
Más problemas de Vectores en R3
PROBLEMA 1.- Dados los vectores $\vec{u}$ = (1, 2, 0) y $\vec{v}$ = (0, 1, 2), calcula:
a) el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
b) un vector unitario ortogonal a $\vec{u}$.
c) el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores $\vec{u}$.
PROBLEMA 2.- Calcula los valores de x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0)
y (2, 0, −1).
PROBLEMA 3.- a) Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores. Comprobar que si $(\vec{u} + \vec{v})·(\vec{v} – \vec{u})=0$. Entonces $|\vec{u}|=|\vec{v}|$.
b) Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores $\vec{u}=(-3, 4,1)$ y $\vec{v}=(-2,1,0)$.
PROBLEMA 4.- Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente
a) Calcula el área del triángulo que forman los puntos A, B y C.
b) Determina el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.
PROBLEMA 5.- Hallar el área del triángulo definido por los puntos A(3,2,1), B(1,-2,0) y C(1,-1,1).
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PROBLEMA 6.- Obtener las coordenadas del punto M que equidista de los puntos A(3,2,1) y B(0,2,4).
PROBLEMA 7.- Hallar a y b para que los vectores $\vec{u} = (a, -1, 2)$ y $\vec{v}=(b,3,0)$ sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.
PROBLEMA 8.- Obtener un vector que tenga la misma dirección y sentido contrario al vector $\vec{v}=(3,0,2)$ y módulo 3.
PROBLEMA 9.- Puede haber los vectores cuyo producto escalar valga 3 y sus módulos 1 y 2, respectivamente.
PROBLEMA 10.- Sean los puntos A(1,0,0), B(2,-1,0), C(2,-1,3) y D(1,1,3). Obtener el área del paralelogramo que definen los puntos A, B y C, así como, el volumen del paralelepípedo que definen los cuatro puntos.
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PROBLEMA 11.- Sean los siguientes puntos los tres vértices del triángulo rectángulo: A(1,-5,k), B(3,k,1) y C(k, -5, 2). Determina el valor de k para que el triángulo sea rectángulo en A.
PROBLEMA 12.- El volumen del tetrahedro es de 5 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los siguientes puntos : A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) y C(2, -1, 3) halla las coordenadas del vértice D sabiendo que está en el eje Y.
PROBLEMA 13.- Calcula el valor de k para que el volumen del paralelepípedo definido por los siguientes vectores: $\vec{u}=(1,-1,1)$, $\vec{v}=(1, 1 ,1)$ y $\vec{w} = (2, 3, k)$ sea de 12 unidades cúbicas.
PROBLEMA 14.- Tres vértices consecutivos de un paralelogramo tienen de coordenadas A(1, 2, -1), B(0, -2, 0) y C(2, -1, 3). Se pide obtener las coordenadas del centro del paralelogramo.
PROBLEMA 15.- Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). Si el centro del paralelogramo es E(0,0,1), se pide:
a) Las coordenadas de los otros vértices.
b) El área del paralelogramo.