Ejercicio B4 del modelo de EVAU de Madrid de la asignatura Matemáticas II
B4.- Dos características genéticas A y B aparecen en una especie animal con probabilidades respectivas de 0,2 y 0,3. Sabiendo que la aparición de una de ellas es independiente de la aparición de la otra, se pide calcular:
a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar presente ambas características. (0,75 puntos).
b) La probabilidad de que no presente ninguna de ellas. (0,75 puntos).
c) La probabilidad de que presente solamente una de ellas. (0,75 puntos).
d) La probabilidad de que, si elegimos al azar 10 individuos, exactamente 3 de ellos presenten la característica A. (0,75 puntos).
$P(A) =0,2 P(B) =0,3$
Si son independientes significa que $P(A∩B)=P(A)·P(B)= 0,2·0,3=0,06$
a) Probabilidad de que tenga ambas características
Se trata de una intersección, por tanto $P(A∩B)=0,06$
b) Probabilidad de que no tenga ninguna
$\\P\overline{(AUB)}=1-P(AUB)$
$P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$
$P(AUB)=0,2+0,3-0,06=0,44$
$P\overline{(AUB)}=1-0,44=0,56$
c) Probabilidad de que sólo presente una
Habremos de restar a la unión la probabilidad de la intersección:
$P(AUB)=P(A∩B)=0,44-0,06=0,38$
d) Probabilidad de que eligiendo 10 al azar 3 de ellos tengan la A
Se trata de una distribución binomial:
$B(10,0.2)$ con $k=3$
$P(x=k)={n \choose k} p^{k}·q^{n-k}$
$q=1-p=1-0,2=0,8$
$n-k=10-3=7$
$P(x=3)={10 \choose 3} 0,2^{3}·0,8^{7}=0,20$