PROBLEMAS DE RECTAS Y PLANOS $R^{3}$ – RESUELTOS

Lady Alfa

Problemas de Geometría de rectas y planos en $R^{3}$ resueltos y explicados

PROBLEMA 1.- Halla, de todas las formas posibles, la ecuación de la recta definida por $A(1, 2, 0)$ y $\vec{v}=(1, -2, 1)$

Vectorial: $(x,y,z) = (1,2,0) + α(1,-2,1)$

Paramétricas: $\left\{ \begin{array}{lcc} x=1+α\\y=2-2α\\z=α \end{array}\right.$

Continua: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1}$

General o Implícita: $\left\{ \begin{array}{lcc} -2x+2=y-2\\x-1=z \end{array}\right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{lcc} -2x-y+4=0\\x-z-1=0 \end{array}\right.$

PROBLEMA 2.- Halla las ecuaciones de la recta que pasan por $A(2, 1, -3)$ y $B(1, 0, -1)$

$\overrightarrow{AB}=(2-1,1-0,-3-(-1))=(1,1,-2)$

Vectorial: $(x,y,z)=(2,1-3)+α(1,1,-2)$

Paramétricas: $\left\{ \begin{array}{lcc} x=2+α\\y=1+α\\z=-3-2α \end{array}\right.$

Continua: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{-2}$

General o implícita: $\left\{ \begin{array}{lcc} x-2=y-1\\-2x+4=z+3 \end{array}\right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{lcc} x-y-1=0\\-2x-z+1=0 \end{array}\right.$

PROBLEMA 3.- Hallar dos puntos y un vector para la siguiente recta:

 $\left\{ \begin{array}{lcc}
              x+2y+z=3\\2x-y+3z=4
                         \end{array}
   \right.$

PROBLEMA 4.- Hallar dos puntos y un vector de la recta: $(x,y,z)=(1,1,1)+α(1,-1,0)$

PROBLEMA 5.- Hallar dos puntos y un vector de la recta: $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$

PROBLEMA 6.- Obtener dos puntos y un vector de la recta:

$\left\{ \begin{array}{lcc}
              x=2-λ\\y=1\\z=1+2λ
                         \end{array}
   \right.$

PROBLEMA 7.- Obtener la ecuación general del plano al que pertenecen el punto $(1,1,1)$ y los vectores $\vec{v}=(1,2-1)$ y $\vec{w}=(2,1,0)$

PROBLEMA 8.- Obtener la ecuación general del plano definido por los puntos $A(1,0,1), B(2,-1,3)$ y $C(-1,2-1)$

PROBLEMA 9.- Hallar el vector normal del plano $(x,y,z)=(1,2,3)+α(4,5,6)+β(1,0,3)$

PROBLEMA 10.- Obtener la ecuación implícita de la recta: $\frac{x-5}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-2}{4}$

PROBLEMA 11.- Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto $P(-1, 3, 0)$ y contiene a la recta $\left\{ \begin{array}{lcc}x+2y-z=2\\2x-3y+4z=1\end{array}\right.$

PROBLEMA 12.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $P(3,2,5)$ y es paralelo al plano $2x-y+3z=4$.

PROBLEMA 13.- Determinar la ecuación que pasa por el punto $P(1,3,4)$ y es paralela a la recta $\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{1}={z+5}{2}$.