Modelo 2021. Opción A.
A1.- Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & x\\1 & 0 & x-1\\x+1 & 0 & 3\end{pmatrix}$ y $B= \begin{pmatrix}0 & 1/3 & -1/3\\0 & 1 & 0\\1 & 2/3 & -2/3\end{pmatrix}$, se pide:
a) (0.5 puntos) Determinar los valores de x ∈ R para los cuales A tiene inversa.
b) (0.75 puntos) Para x = −1, calcular la inversa de A.
c) (1.25 puntos) Para x = 1, calcular (ABt)2020.
A2.- Sea la función $f(x)=\left\{ \begin{array}{lcc}\frac{2}{x+1}& si &x≤1\\ \frac{lnx}{x-1} &si& x>1 \end{array} \right.$
a) (0.5 puntos) Estudia la continuidad de f.
b) (1 punto) Halla las asíntotas de f.
c) (1 punto) Determina el valor de x0 < 1 que verifica que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) tiene pendiente −1/2 . Escribe la ecuación de dicha recta tangente.
A3.- Se consideran los puntos A(3, 1, 2), B(0, 3, 4) y P(−1, 1, 0). Se pide:
a) (0.75 puntos) Determinar las coordenadas de un punto Q sabiendo que los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{PQ}$ son linealmente dependientes, tienen sentidos opuestos y tienen el mismo modulo.
b) (1 punto) Determinar las coordenadas del punto de intersección de la recta r que contiene a A y P, y de la recta s que contiene a B y al punto C(2, −1, −2).
c) (0.75 puntos) Calcular el coseno del ángulo formado por $\overrightarrow{PA}$ y $\overrightarrow{PB}$.
A4.- En un instituto uno de cada cuatro alumnos practica baloncesto. Se eligen 6 alumnos al azar y se considera la variable aleatoria X que representa el numero de estudiantes entre estos 6 que practican baloncesto. Se pide:
a) (1 punto) Identificar la distribución de la variable aleatoria X y calcular P(X = 0).
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que al menos 5 de los 6 elegidos practiquen baloncesto.
c) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que al menos 1 de los 6 practique baloncesto.
Modelo 2021. Opción B.
B1.- Dados la matriz A = XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX y el vector B = XXXXXXXXXXXXXX, determinar el valor o valores de a para los que se verifica:
a) (0.5 puntos) Bt=(A + At) B = 6.
b) (1.0 puntos) El sistema de A X = B no tiene solución.
c) (1.0 puntos) A = A−1
B2.- Dada la función f(x) = x6 − 4x4, se pide:
a) (0.5 puntos) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) (1 punto) Encontrar sus máximos y mınimos locales, y determinar si son o no globales.
c) (1 punto) Hallar el área de la región acotada limitada por el eje y = 0 y la grafica de f.
B3.- Dadas las rectas XXXXXXXXXXXXXXXXXX
a) (0.75 puntos) Hallar la distancia del origen a la recta s.
b) (0.5 punto) Determinar la posición relativa de r y s.
c) (1.25 puntos) Escribir la ecuación de una recta perpendicular común a ambas rectas.
B4.- Una médico experta diagnostica posibles enfermos de una dolencia, fallando en reconocerla en el 5% de los casos que la padecen y diagnosticándola equivocadamente en el 10% de los sanos. Las estadísticas muestran
que dicha enfermedad es padecida por 50 de cada diez mil personas. Si una persona al azar se somete a
reconocimiento, calcule la probabilidad de:
a) (0.5 puntos) Que sea diagnosticada como enferma.
b) (1 punto) Que este enferma si la diagnostican como tal.
c) (0.5 puntos) Que no este enferma si la diagnostican sana.
d) (0.5 puntos) Que sea mal diagnosticada.