Resolución del ejercicio A1. EVAU Madrid 2021. Modelo. Matemáticas II
A1.- Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & x\\1 & 0 & x-1\\x+1 & 0 & 3\end{pmatrix}$ y $B= \begin{pmatrix}0 & 1/3 & -1/3\\0 & 1 & 0\\1 & 2/3 & -2/3\end{pmatrix}$, se pide:
a) (0.5 puntos) Determinar los valores de x ∈ R para los cuales A tiene inversa.
b) (0.75 puntos) Para x = −1, calcular la inversa de A.
c) (1.25 puntos) Para x = 1, calcular (ABt)2020.
SOLUCIÓN:
a) Para que A tenga inversa su determinante tiene que ser distinto de cero: |A| ≠0.
$|A|=\begin{vmatrix}0 & 1 & x\\1 & 0 & x-1\\x+1 & 0 & 3\end{vmatrix} = 0+x^{2}-1+0-0-3-0=x^2-4$
$x^2-4=0\Rightarrow x=2; x=-2$
Por lo tanto, A tendrá inversa para todo x que sea distinto a 2 y a -2.
b) Si x = -1, $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\1 & 0 & -2\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}$
$|A| = (-1)^2-4=-3$
$Adj(A)=\begin{pmatrix}0 & -3 & 0\\-3 & 0 & 0\\-2 & -1 & -1\end{pmatrix}$
$(Adj(A))^t=\begin{pmatrix}0 & -3 & -2\\-3 & 0 & -1\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$
$A^-1=\frac{(Adj(A))^t}{|A|}=\frac{\begin{pmatrix}0 & -3 & -2\\-3 & 0 & -1\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}}{-3}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2/3\\1 & 0 & 1/3\\0 & 0 & 1/3\end{pmatrix}$
c) Si x=1; $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\2 & 0 & 3\end{pmatrix}$
$A·B^t=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\2 & 0 & 3\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\1/3 & 1 & 2/3\\-1/3 & 0 & -2/3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}$
c) Si x=1, $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\2 & 0 & 3\end{pmatrix}$
$A·B^t=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\2 & 0 & 3\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\1/3 & 1 & 2/3\\-1/3 & 0 & -2/3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$(A·B^t)^2=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\end{pmatrix}$
$(A·B^t)^3=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0& -1\end{pmatrix}=-I$
$(A·B^t)^2020=((A·B^t)^3)^673·(AB^t)=(-I)^673·\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$