A3.- Una sonda planetaria se lanza desde el punto P(1, 0, 2) y sigue una trayectoria rectilínea que pasa por el punto Q(3, 1, 0) antes de impactar en una zona plana de la superficie del planeta, que tiene por ecuación π ≡ 2x – y + 2z + 5 = 0. Se pide: (2,5 puntos).
a) Calcular las coordenadas del punto de impacto y el coseno del ángulo entre la trayectoria de la sonda y el vector normal al plano π. (1,5 puntos).
b) Sabiendo que la alarma de proximidad se dispara antes de llegar a la superficie cuando la distancia al planeta es 1, determinar en qué punto estará la sonda al sonar la alarma. (1 punto).
P(1, 0, 2) Q (3, 1, 0)
π ≡ 2x – y + 2z + 5 = 0
a) Coordenadas del impacto y coseno del ángulo entre la trayectoria y el vector normal al plano π.
En primer lugar, obtenemos la recta de la trayectoria:
$\overrightarrow{PQ}$ = (3-1, 1-0, 0-2) = (2, 1, -2).
Su ecuación continúa será:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}= \frac{z-2}{-2}$
Para obtener el coseno del ángulo, obtendremos el vector $\vec{n}=(2, -1, 2)$ del plano.
$\overrightarrow{PQ}·\vec{n}=(2, 1, -2)·(2, 1, 3)=2·2+1·1-2·3=-1$
$|\overrightarrow{PQ}·\vec{n}|=|\overrightarrow{PQ}|·|\vec{n}|·cos α $
$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9}=3$
$|\vec{n}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3$
$+1=3·3·cos α $
$cos =\frac{+1}{9}$
Para hallar el punto de intersección pondremos las ecuaciones paramétricas de la trayectoria:
$\left\{ \begin{array}{lcc}
x=1+2λ\\y=0+λ\\z=2-2λ\\
\end{array}
\right.$
Ahora sustituimos en la ecuación del plano:
$2·(1+2λ)-λ+2(2-2λ)+5=0$
$2+4λ-λ+4-4λ+5=0$
$-λ=-11⇒λ=11$
$x=1+2·11=1+22=23$
$y=11$
$z=2-2·11=2-22=-20$
$P(23, 11, -20)$
b) Punto a una distancia de 1 del plano π.
La distancia de un punto a un plano es:
$d(P,π)=\frac{|x·A+y·B+z·C+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$
Y además, el punto tiene que pertenecer a la recta r de la trayectoria:
$d(P, π)=\frac{|x·2-y+2·z+5|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}=\frac{|2x-y+2z+5|}{3}$
Sustituimos x, y y z por su valor paramétrico:
$1=\frac{|2(1+λ)-λ+2(2-λ)+5|}{3}$
$3=|2+2λ-λ+4-2λ+5|$
$3=|11-λ|⇒λ=8$
Por tanto, el punto es:
$x=1+λ·2=1+2·8=1+16=17$
$y=λ=8$
$z=2-2·λ=2-2·8=2-16=-14$
El punto pedido es $Q=(17, 8, -14)$