EVAU MADRID 2022. MATEMÁTICAS II. MODELO. B1

Modelo 2022. Opción B. Ejercicio 1.

B1.- Sean las matrices A = $\begin{pmatrix}0 & 1 & a\\1 & 0 & a\\a & 1 & 0\end{pmatrix}$ y B = $\begin{pmatrix}3\\
-1\\-2\end{pmatrix}$. Se pide: (2,5 puntos).

a) Calcular los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa. (0,5 puntos).

b) Para a = 1, calcular la inversa de la matriz A. (1 punto).

c) Para a = 2, resolver el sistema A · $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ = B. (1 punto).

SOLUCIÓN:

a) Para que la matriz no tenga inversa su determinante tiene que ser igual a cero.

$|A|= \begin{vmatrix}0 & 1 & a\\1 & 0 & a\\a & 1 & 0\end{vmatrix}$ = 0 + a² + a – 0 – 0 – 0 = 0

a = 0; a + 1 = 0; a = -1

Los valores de a para que A no tenga inversa son 0 y -1.

b) En primer lugar, obtenemos la matriz de adjuntos:

$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

A₁₁ = -1, A₁₂ = 1, A₁₃ = +1, A₂₁ = +1, A₂₂ = -1, A₂₃ = +1; A₃₁ = +1, A₃₂ = +1, A₃₃ = -1

Adj (A) = $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-1 & 1 & -1\end{pmatrix}$

Ahora sacamos la traspuesta de la adjunta:

(Adj(A))^T = $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\1 & 1 &-1\end{pmatrix}$

Y por último dividimos la traspuesta de la adjunta entre el determinante de A:

A^-1 = $\frac{(Adj(A))^T}{|A|} = \frac{\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\1 & 1 &-1\end{pmatrix}}{\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{vmatrix}} = \begin{pmatrix}-1/2 & 1/2 & 1/2\\1/2 & -1/2 & 1/2\\1/2 & 1/2 &-1/2\end{pmatrix} $

c) Si a=2 nos queda el sistema:

y + 2z = 3

x + 2z = -1

2x + y = -2

Aplicaremos la regla de Cramer:

|A| = a² + a = 2² + 2 = 6

x = $\frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 1 & 0\end{vmatrix}}{6}=\frac{0-4-2-0-0-6}{6}=\frac{-12}{6}=-2$

y = $\frac{\begin{vmatrix}0 & 3 & 2\\1 & -1 & 2\\2 & -2 & 0\end{vmatrix}}{6}=\frac{0+12-4+4-0-0}{6}=\frac{12}{6}=2$

z =$\frac{\begin{vmatrix}0 & 1 & 3\\1 & 0 & -1\\2 & 1 & -2\end{vmatrix}}{6}=\frac{0-2+3-0+2-0}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$