MODELO 2022. OPCIÓN A
A2.- Sea la función: (2,5 puntos).
$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
1 – \frac{sen x}{x} & si & x <0 \\
\\ x e^4-x^2 & si & x \geqslant 0 \\
\end{array}
\right.$
a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0. (0,75 puntos).
b) Determine los extremos relativos de f(x) en (0, ∞). (1 punto).
c) Calcule $\int_0^2 f(x) \mathrm{d}x $. (0,75 puntos).
a) Continuidad y derivabilidad en x = 0.
Continuidad:
$f(0) = 0 · e^{4-0^{2}} = 0$
$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} x·e^{4-x^{2}} = 0$
$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}1-\frac{senx}{x}=\lim_{x\to 0^{-}} \frac{x-senx}{x}=\frac{0}{0}IND$
Aplicamos l´hopital:
$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1-cosx}{1}=1-cos 0=1-1=0$
Es continua en x = 0 ya que $\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}f(x) = f(0)$
Derivabilidad:
Si x>0 $f´(x)=(x·e^{4-x^{2}})^{1}=e^{4-x^{2}}+x·(-2x)e^{4-x^{2}}=e^{4-x^{2}}(1-2x^{2})$
Si x<0 $f´(x)=(1-\frac{senx}{x})^{1}=-\frac{cosx·x-senx}{x^{2}}=\frac{senx-x·cosx}{x^{2}}$
$\lim_{x\to 0^{+}}f´(x)=\lim_{x\to 0^{+}}e^{4-x^{2}}(1-2x^{2})=e^{4-0^{2}}(1-2·0^{2})=e^{4}$
$\lim_{x\to 0^{-}}f´(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{senx-xcosx}{x^{2}}=\frac{0}{0}IND$
Aplicamos L´Hopital:
$lim_{x\to 0^{-}}\frac{cosx-(cosx-xsenx)}{2x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{cosx-cosx+xsenx}{2x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{senx}{2}=0$. No es derivable.
b) Extremos en $(0, ∞)$
Se trata de analizar el tramo $f(x) =x·e^{4-x^{2}}$
$f´(x)=e^{4-x^{2}}(1-2x^{2})=0$
$e^{4-x^{2}}=0⇒∄x$
$1-2x^{2}=0→2x^{2}=1→x^{2}=\frac{1}{2}⇒x=\frac{\sqrt{2}}{2},x= -\frac{\sqrt{2}}{2}$ NO VALE
$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2},∞)$
f´(x) + –
f(x) C D
MÁXIMO
c) Integral definida.
$\int^{2}_{0}x·e^{4-x^{2}}·dx$
Hacemos un cambio de variable $4-x^{2}=t→-2xdx=dt$.
$xdx=\frac{dt}{-2}\int e^{t}·\frac{dt}{-2}=-\frac{1}{2}\int e^{t}dt= -\frac {1}{2}e^{t}$
Deshacemos el cambio:
$F(x)=-\frac{1}{2}e^{4-x^{2}},\int^{2}_{0}x·e^{4-x^{2}}·dx=F(2)-F(0)=-\frac{1}{2}e^{0}-(-\frac{1}{2}e^{4})=-\frac{1}{2}+\frac{e^{4}}{2}=\frac{e^{4}-1}{2}$