Ejercicios de Geometría Analítica en el Espacio. RESUELTOS. Tema de Vectores.
PROBLEMA 1.- Dados los vectores $\vec{u}$ = (1, 2, 0) y $\vec{v}$ = (0, 1, 2), calcula:
a) el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
b) un vector unitario ortogonal a $\vec{u}$.
c) el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores $\vec{u}$.
SOLUCIÓN:
$\vec{u}=(1,2,0)$, $\vec{v}=(0,1,0)$
a) $\vec{u}x\vec{v}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & 2 & 0\\0 & 1 & 2\end{vmatrix}=4\vec{i}+\vec{k}-2\vec{j}=(4, -2, 1)$
b) El vector $\overrightarrow{uxv}$ es perpendicular a $\vec{u}$ por ser producto vectorial:
$\vec{w}=\frac{\overrightarrow{uxv}}{|\overrightarrow{uxv}|}=\frac{4,-2,1}{\sqrt{4^2+2^2+1^2}}=\frac{4,-2,1}{\sqrt{21}}=\frac{4}{\sqrt{21}}, -\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{21}}$
PROBLEMA 2.- Calcula los valores de x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0)
y (2, 0, −1).
PROBLEMA 3.- a) Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores. Comprobar que si $(\vec{u} + \vec{v})·(\vec{v} – \vec{u})=0$. Entonces $|\vec{u}|=|\vec{v}|$.
b) Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores $\vec{u}=(-3, 4,1)$ y $\vec{v}=(-2,1,0)$.
PROBLEMA 4.- Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente
a) Calcula el área del triángulo que forman los puntos A, B y C.
b) Determina el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.
PROBLEMA 5.- Hallar el área del triángulo definido por los puntos A(3,2,1), B(1,-2,0) y C(1,-1,1).
PROBLEMA 6.- Obtener las coordenadas del punto M que equidista de los puntos A(3,2,1) y B(0,2,4).
PROBLEMA 7.- Hallar a y b para que los vectores $\vec{u} = (a, -1, 2)$ y $\vec{v}=(b,3,0)$ sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.
PROBLEMA 8.- Obtener un vector que tenga la misma dirección y sentido contrario al vector $\vec{v}=(3,0,2)$ y módulo 3.
PROBLEMA 9.- Puede haber los vectores cuyo producto escalar valga 3 y sus módulos 1 y 2, respectivamente.
PROBLEMA 10.- Sean los puntos A(1,0,0), B(2,-1,0), C(2,-1,3) y D(1,1,3). Obtener el área del paralelogramo que definen los puntos A, B y C, así como, el volumen del paralelepípedo que definen los cuatro puntos.