Problemas de distancias, ángulos, punto simétrico
PROBLEMA 1.- Dadas las rectas:
$r_1\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z}{2}$ ; y $r_2\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x=-1-\lambda\\y=3+\lambda\\z=5 \end{array} \right.$
se pide:
a) Estudiar la posición relativa.
b) Hallar la mínima distancia entre $r_1$ y $r_2$.
PROBLEMA 2.- Dados los planos:
$\pi_1\equiv 2x+3y+z-1=0$; y $\pi_2\equiv2x+y-3z-1=0$
y la recta: $r\equiv\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}$
a) El punto o los puntos de r que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.
b) El volumen del tetraedro que $\pi_1$ forma con los planos coordenados XY, XZ e YZ.
c) La proyección ortogonal de r sobre $\pi_2$.
PROBLEMA 3.- Dado el punto $P(0, 1, 1)$ y las rectas:
$r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$
$s\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}
x=0\\y=0\\
\end{array}
\right.$
a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto a $r$.
b) Determinar la recta que pasa por el punto $P$, tiene dirección perpendicular a la recta $r$ y corta a la recta $s$.
PROBLEMA 4.-
a) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas
$r_1 \equiv x=y=z$
$r_3$$\left\{ \begin{array}{lcc}
x=0\\z=0\\
\end{array}
\right.$
con el plano $\pi\equiv2x+3y+7z=24$
b) Hallar la recta $s$ que cortas perpendicularmente a las rectas
$r_4 \equiv\frac{x+1}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-2}$
$r_5 \equiv\frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-1}$
PROBLEMA 5.- Dados los planos:
$\pi_1\equiv2x+y-2z=1$
$\pi_2\equiv x-y+2z=1$
se pide:
a) Estudiar su posición relativa.
b) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.
PROBLEMA 6.-
a) Hallar la ecuación del plano $\pi_1$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 0), B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 1)$.
b) Hallar la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene al punto $P(1, 2, 3)$ y es perpendicular al vector $\vec v(-2, 1, 1)$.
c) Hallar el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P$.
PROBLEMA 7.- Dadas las rectas:
$r\equiv\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1}$
$s\equiv\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z}{1}$
se pide:
a) Estudiar la posición relativa de $r$ y $s$.
b) Determinar la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$, $s$.
PROBLEMA 8.- Dados los planos:
$α\equiv2x+y+2z+1=0$, $β\equiv x-2y+6z=0$, se pide:
a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ determinada por la intersección de $α$ y $β$.
b) Determinar el plano $ϒ$ que es paralelo al plano $α$ y pasa por el punto $(\sqrt 2, 1, 0)$.
PROBLEMA 9.- Dados los puntos $A(1, -3, 0), B(3, 1, -2), C(7, 2, 3), D(5, -2, 5), E(1, 0, 2)$, se pide:
a) Demostrar que los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ son coplanarios.
b) Demostrar que el polígono $ABCD$ es un paralelogramo y calcular su área.
c) Hallar la distancia del punto $E$ al plano determinado por los puntos $A$, $B$, $C$, $D$.
PROBLEMA 10.- Dadas las rectas:
$r_1\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}y=1\\z=3 \end{array}\right.$
$r_2\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x=0\\y-z=0\\\end{array}\right.$
se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta $t$ que corta a $r_1$ y $r_2$ y es perpendicular a ambas.
b) Hallar la mínima distancia entre $r_1$ y $r_2$.
PROBLEMA 11.- Dados el plano: $\pi_1\equiv2x-3y+z=a$ y el plano $\pi_2$ determinado por el punto $P(0, 2, 4)$ y los vectores $\vec v_1=(0, 2, 6)$ y $\vec v_2=(1, 0, b)$, se pide:
a) Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos.
b) Para $a=1$ y $b=0$ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$.
c) Para $a=4$ y $b=-2$ determinar los puntos que están a igual distancia de $\pi_1$ y $\pi_2$.
PROBLEMA 12.- Los puntos $P(1, 2, 1)$, $Q(2, 1, 1)$ y $A(a, 0, 0)$ con $a>3$, determinan un plano $\pi$ que corta a los semiejes positivos de $OY$ y $OZ$ en los puntos $B$ y $C$ respectivamente. Calcular el valor de $a$ para que el tetraedro determinado por los puntos $A$, $B$, $C$ y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo.
PROBLEMA 13.- Dadas las rectas:
$r\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}2x+y-z=-2\\x-2y=-1 \end{array}\right.$
$s\equiv\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-1}{2}$
se pide:
a) Dados los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(a, 3, -3)$, determinar el valor de $a$ para que la recta $t$ que pasa por los puntos $A$ y $B$, sea paralela a la recta $s$.
b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.
PROBLEMA 14.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen e coordenadas y es perpendicular a los planos:
$\pi_1\equiv5x-y-7z=1$ y $\pi_2\equiv2x+3y+z=5$
PROBLEMA 15.- Se consideran las rectas:
$r\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x=1+λ\\y=2\\z=3-λ\end{array}\right.$
$s\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x+2y-z=-1\\x+y=-2\end{array}\right.$
Determinar la ecuación de la recta $t$ que pasa por el punto $P(0, 1, -2)$ y corta a las rectas $r$ y $s$.
PROBLEMA 16.- Dada la recta:
$r\equiv\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{3}$
y el punto $P(2, 0, -1)$, se pide:
a) Hallar la distancia del punto $P$ a la recta $r$.
b) Hallar las coordenadas del punto $P´$ simétrico de $P$ respecto de la recta $r$.
PROBLEMA 17.- Dados el plano $\pi\equiv2x+ay+4z+25=0$ y la recta:
$r\equiv x+1=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{5}$
se pide:
a) Calcular los valores de $a$ para los que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.
b) Para el valor $a=-2$, hallar el punto (o los puntos) que pertenecen a la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P(-3/2, 0, -11/2)$, y que dista (o distan) $\sqrt 6$ unidades de $\pi$.
c) Para el valor $a=-2$, halla el seno del ángulo que forman $r$ y $\pi$.
PROBLEMA 18.- Dadas las rectas:
$r\equiv x=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}$
$s\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x+z=3\\2x-y=2\end{array}\right.$
se pide:
a) Hallar la ecuación del plano $\pi$ determinado por $r$ y $s$.
b) Hallar la distancia del punto $A(0, 1, -1)$ a la recta $s$.
PROBLEMA 19.- Sea $\pi$ el plano que contiene a los puntos $P=(1, 0, 0)$, $Q=(0, 2, 0)$ y $R=(0, 0, 3)$. Se pide:
a) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos $P$, $Q$ y $R$.
$V=1u^3$
b) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.
PROBLEMA 20.- Se consideran las rectas:
$r\equiv\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-2}$
$s\equiv\frac{x-5}{6}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{2}$
a) Determinar la ecuación de la recta $t$ que corta a $r$ y $s$, y que contiene al origen de coordenadas.
b) Determinar la mínima distancia entre las rectas $r$ y $s$.
PROBLEMA 21.- Dados los puntos $A(2, 2, 3)$ y $B(0, -2, 1)$, hallar el punto o los puntos de la recta:
$r\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{2}$
que equidisten de $A$ y $B$.
PROBLEMA 22.- Dados el plano $\pi\equiv5x-4y+z=0$ y la recta: $r\equiv\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ contenida en $\pi$, obtener la recta $s$ contenida en $\pi$ que es perpendicular a $r$, y que pasa por el origen de coordenadas $O=(0, 0, 0)$.
PROBLEMA 23.- Hallar el punto de corte entre el plano $\pi_1\equiv6x-y+3z=-2$ y la recta $r$ que pasa por el punto $P(1, 2, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi_2\equiv2x+3y-z=8$.
PROBLEMA 24.- Hallar el punto común a los tres planos $\pi_3$, $\pi_4$, $\pi_5$ siguientes:
$\pi_3\equiv5x+2y+7z=4$
$\pi_4\equiv x+2y-3z=10$
y $\pi_5$ el plano definido por las rectas:
$r_1\equiv\frac{x+3}{2}=\frac{y+3}{3}=z+3$
$r_2\equiv x+2=y=\frac{z+7}{2}$
PROBLEMA 25.- Dados el plano $\pi\equiv x-y+2z=1$ y la recta $r\equiv\frac{x}{-6}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2}$
se pide:
a) Determinar la posición relativa entre el plano $\pi$ y la recta $r$.
b) Determinar el plano que contenga a $r$ y pase por $P(1, 1, 1)$.
PROBLEMA 26.- Hallar, si existe, el punto de corte de las rectas:
$r_1\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x-y=2\\x+y+z=3\end{array}\right.$
$r_2\equiv\left\{ \begin{array}{lcc}x=-1+2λ\\y=2+λ\\z=-λ\end{array}\right.$
PROBLEMA 27.- Determinar el valor de $a$ para que los planos:
$\pi_1\equiv x+2y+z=3$
$\pi_2\equiv2x+3y-z=5$
$\pi_3\equiv2x+2y+4z=3$
$\pi_4\equiv x+3y=a$
tengan un único punto en común.
PROBLEMA 28.- Hallar la recta paralela a los planos:
$\pi_5\equiv2x+5y-z=2$
$\pi_6\equiv6x-y+z=8$
que pasa por el punto $P(1, 5, -3)$.
PROBLEMA 29.- Dados los puntos $P_1(1, 3, -1)$, $P_2(a, 2, 0)$, $P_3(1, 5, 4)$ y $P_4(2, 0, 2)$, se pide:
a) Hallar el valor de $a$ para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.
b) Hallar los valores de $a$ para que el tetraedro con vértices en $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ tenga volumen igual a 7.