Ejercicios resueltos de Logaritmos. Ecuaciones logarítmicas.

Doctor Alfa

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Definición de logaritmo

Para poder resolver los problemas de logaritmos lo primero que tenemos que tener muy claro es la definición de logaritmo:

logab = c ⇔ b = ac

¿Eso qué significa? Que si quitamos el logaritmo y nos quedamos sólo con el número, éste será igual a la base elevada al valor de logaritmo.

Por ejemplo: log28 = 3, si quitamos el log2, nos queda el 8, ¿8 igual a qué? A 2 que es la base, elevado al 3.

Es decir, 8 = 23.

De esta manera podremos calcular cualquiera de los tres parámetros, la a (la base del logaritmo), la b (el número del cual estamos calculando el logaritmo, lo que sería una ECUACIÓN LOGARÍTMICA) o la c (el valor del logaritmo).

Ejemplos:

  • log39 = x .- 9 = 3x, factorizamos el 9 y nos queda: 32, por tanto: 32= 3x. Es decir, x = 2.
  • logx8 = 3.- 8 = x3, factorizamos el 8 y nos queda 23, por tanto: 23=2x. Es decir, x = 3.
  • log5x = 2.- x = 52, x = 25.

Propiedades de los logaritmos

Una vez tenemos clara la definición de logaritmo y cómo trabajar con ella, vamos a ver las propiedades de los logaritmos:

  • log 1 = 0. El logaritmo de 1, independientemente de su base siempre vale 0.
  • log x (con x>0) El número del cual calculamos el logaritmo tiene que ser siempre mayor que 0.
  • logaa = 1. Si la base y el número del que calculamos el logaritmo son iguales el logaritmo vale 1.
  • log a + log b = log (a·b). La suma de dos logaritmos es igual al logaritmo del producto.
  • log a – log b = log (a/b). La resta de dos logaritmos es igual al logaritmo del cociente.
  • n·log a = log an. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Bonus: trucos con los logaritmos

Si la base vale 10 no se pone. Es decir, log10 5 = log 5.

log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, …..

Existe un logaritmos especial llamado logaritmo neperiano o logaritmo natural que tiene por base, el número e (constante de Euler o constante de Napier), cuyo valor es 2,72 aproximadamente. Se denota como Ln ó ln y se trabaja con él exactamente igual que si fuese cualquier otro número.

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