Modelo 2022. Opción B. Ejercicio 2.
B2.- Sea f(x) = x + x2, se pide:
a) Hallar el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y la recta y = 2x. (1 punto).
b) Una partícula en movimiento parte del origen y sigue la trayectoria determinada por la gráfica de f. En el punto (1, f(1)) la partícula sale despedida en la dirección de la recta tangente. Determinar en qué punto choca con la recta vertical x = 2. (1,5 puntos).
$f(x)=x+x^2$
a) Área definida por $f(x)$ e $y=2x$
Buscamos los puntos de intersección entre $f(x)$ e $y$.
$x+x^2=2x→x^2+x-2=0$
$x^2-x=0→x=0;x-1=0;x=1$
$A=|\int^1_0(f(x)-y)dx|=|\int^1_0(x^2+x-2x)dx|=$
$|\int^1_0x^2-xdx|=|[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}]^1_0|=$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-0-0|=|\frac{2-3}{6}|=|\frac{-1}{6}|=\frac{1}{6}u^2$
b) Intersección entre la tangente en $(1,f(1))$ y la recta $x=2$
$y-f(1)=f'(1)(x-1)$
$f(1)=1+1^2=2$
$f'(x)=1+2x→f'(1)=1+2=3$
$y-2=3(x-1)$ ec. recta tangente.
$\left\{ \begin{array}{lcc}
y-2=3x-3\\x=2\\
\end{array}
\right.$
$y-2=3·2-3→y=5$
El punto pedido es el $P(2,5)$.