Modelo 2022. Opción B. Ejercicio 3.
B3.- Dados los planos π1 ≡ x – 2y + 3z = 6 y π2 ≡ 3x – z = 2 y el punto A(1, 7, 1), se pide: (2,5 puntos).
a) Comprobar que π1 y π2 son perpendiculares. (0,5 puntos).
b) Calcular el volumen de un cubo que tenga una cara en el plano π1, otra cara en el plano π2, y un vértice en el punto A. (1 punto).
c) Calcular el punto simétrico de A respecto de π1. (1 punto).
a) Comprobar que $π_1$ y $π_2$ son perpendiculares.
Si dos planos son perpendiculares sus vectores normales también lo son, luego su producto escalar será cero:
$\vec{n_1}·\vec{n_2}=0→(1,-2,3)·(3,0,-1)=0$
$3-2·0+3(-1)=0$ si son perpendiculares.
b) Volumen del cubo que tenga una cara en $π_1$, otra en $π_2$ y un vértice en $A$.
El punto $A(1,7,1)$ pertenece al plano $π_2$ por lo que podremos hallar la arista del cubo, como la distancia de $P$ a $π_1$.
$d(P,π)=|\frac{x_{0}·A+y_{0}·B+z_{0}·C+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$
$d(P,π_ {1})=|\frac{1·1+7·(-2)+1·3-6|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}|}$
$d(P,π_{1})=\sqrt{1+4+9}=\frac{16}{\sqrt{14}}$
Por tanto, el volumen del cubo es $\frac{(16}{\sqrt{14})^3}}$
c) Punto simétrico de $P$ respecto de $π_{1}$.
Sacamos la recta perpendicular a $π$, y que pasa por $P$:
$t=\left\{ \begin{array}{lcc}
x=1+λ\\y=7-2λ\\z=1+3λ\\
\end{array}
\right.$
Buscamos el punto de corte de $t$ con $π_{1}$:
$(1+λ)-2(7-λ)+3(1+3λ)+5=0$
$1+λ-14+2λ+3+9λ+5=0→12λ=5→λ=\frac{5}{12}$
$x=1+\frac{5}{12}=\frac{17}{12}??$