Modelo 2022 Opción A
A1.- En una academia de idiomas se imparten clases de inglés, francés y alemán. Cada alumno está matriculado en un único idioma. El número de alumnos matriculados en inglés representa el 60% del total de alumnos de la academia. Si diez alumnos de francés se hubiesen matriculado en alemán, ambos idiomas tendrían el mismo número de alumnos. Además, la cuarta parte de los alumnos de inglés excede en ocho al doble de la diferencia entre los alumnos matriculados en francés y alemán. Calcule el número de alumnos matriculados en cada idioma. (2,5 puntos).
SOLUCIÓN:
Llamamos x a los alumnos matriculados en inglés, y a los alumnos matriculados en francés y z a los alumnos matriculados en alemán.
x = 0,6 (x + y + z) → El 60% del total son de inglés.
y – 10 = z + 10 → Si 10 alumnos de francés hubieran sido de alemán.
$\frac{x}{4} = 2 (y – z) + 8 $→ La cuarta parte de los de inglés excede en 8 al doble de la diferencia de francés y alemán.
El sistema queda: $\left.\begin{array}{ccl}x & = & 0,6x+0,6y+0,6z\\ y-z & = & 10+10\\ x & = & 8·(y-z)+32\end{array}\right\}$, $\left.\begin{array}{ccl}-0,4x+0,6y+0,6z & = & 0\\ y-z & = & 20\\ x -8y +8z & = & 32\end{array}\right\}$
Resolveremos el sistema aplicando la regla de Cramer:
$x=\frac{\begin{vmatrix}0 & 0,6 & 0,6\\20 & 1 & -1\\32 & -8 & 8\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-0,4 & 0,6 & 0,6\\0 & 1 & -1\\1 & -8 & 8\end{vmatrix}}=\frac{\frac{-1152}{5}}{\frac{-6}{5}}=\frac{1152}{6}=192$ alumnos de inglés.
$y=\frac{\begin{vmatrix}-0,4 & 0 & 0,6\\0 & 20 & -1\\1 & 32 & 8\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-0,4 & 0,6 & 0,6\\0 & 1 & -1\\1 & -8 & 8\end{vmatrix}}=\frac{\frac{-444}{5}}{\frac{-6}{5}}=\frac{444}{6}=74$ alumnos de francés.
$z=\frac{\begin{vmatrix}-0,4 & 0,6 & 0\\0 & 1 & 20\\1 & -8 & 32\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-0,4 & 0,6 & 0,6\\0 & 1 & -1\\1 & -8 & 8\end{vmatrix}}=\frac{\frac{-324}{5}}{\frac{-6}{5}}=\frac{324}{6}=54$ alumnos de alemán.