Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función
Determinar las asíntotas y la posición de la curva respecto a ellas:
a) $y=\frac{3x+1}{x-2}$
b) $y=\frac{3x^2-7}{x-2}$
a) En primer lugar, estudiamos las asíntotas verticales que son aquellos valores de x que hacen que f(x) tiende a infinito ($\infty$).
En este caso, al ser una función racional buscaremos los puntos que anulan el denominador:
x-2=0 ⇒ x=2.
Así pues, la asíntota vertical es x=2.
Para saber la posición hacemos los límite laterales:
$\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}\frac{3x+1}{x-2}=\frac{+}{+}=\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow 2^-}\frac{3x+1}{x-2}=\frac{+}{-}=-\infty$
Por la derecha se aproxima «por arriba» y por la derecha «por abajo».
Estudiamos ahora las asíntotas horizontales:
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x+1}{x-2}=\frac{\infty}{\infty}$, INDETERMINACIÓN
Como es una función racional en la que el grado del numerador es igual al del denominador, el límite vale el cociente de las coeficientes de mayor grado:
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{1}=3$
Lo mismo ocurre con el límite cuando tiende a menos infinito (-$\infty$)
Al tener asíntotas horizontales ya no va a tener oblicuas.
Ahora, estudiaremos su posición, para ello, obtenemos el límite cuando x tiende a $\infty$ de f(x) restándole la asíntota:
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=f(x)-asintota\left\lbrace\begin{array}{c}+ \rightarrow Curva encima\\- \rightarrow Curva debajo \end{array}\right.$
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x+1}{x-2}-3=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\frac{3x+1-3x+6}{x-2}=$
$=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{7}{x-2}=+\Rightarrow$Curva por encima.
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x+1}{x-2}-3=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\frac{3x+1-3x+6}{x-2}=$
$=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{7}{x-2}=-\Rightarrow$Curva por debajo.
b) La asíntota vertical es la misma que en el apartado a) ya que el denominador es el mismo. La posición también es la misma.
Estudiamos las asíntotas horizontales:
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7}{x-2}=\frac{\infty}{\infty}\Rightarrow$INDETERMINADO.
Como el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite tiende a infinito ($\infty$).
Por tanto, no existe asíntota horizontal.
Lo mismo ocurre cuando x tiende a infinito ($\infty$).
Estudiamos ahora las oblicuas:
$m=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7}{x-2}:x=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7}{x^2-2x}=3$
La asíntota tiene pendiente 3.
Obtenemos ahora el valor de n (ordenada en el origen):
$n=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)-mx=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7}{x-2}-3x$
$n=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7-3x^2+6x}{x-2}=6$
Por tanto, la asíntota oblicua es: y = 2x+6.
Cuando x tiende a menos infinito (-$\infty$):
$m=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7}{x-2}:x=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7}{x^2-2x}=3$
$n=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2+7-3x^2+6x}{x-2}=6$
La oblicua, por tanto, coincide: y = 3x+6
Para ver la posición de la curva con respecto a la asíntota:
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=f(x)-(mx+n)\left\lbrace\begin{array}{c}+ \rightarrow Curva encima\\- \rightarrow Curva debajo \end{array}\right.$
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{3x+1}{x-2}-(3x+6)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=\frac{3x^2+7-3x^2+6x-6x+10}{x-2}=$
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{19}{x-2}=+\Rightarrow$Curva por encima.