Posiciones relativas de rectas en $R^{3}$
PROBLEMA 1.- Determinar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ y, si es posible, obtener el punto de corte:
a) $r\equiv\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{4}$; y $s\equiv\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$
b) $r\equiv\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$, y $s\equiv\frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$
c) $r\equiv\frac{x}{2}=y-1=\frac{z+1}{3}$; y $s\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x-2y-1=0\\3y-z=1 \end{array} \right.$
PROBLEMA 2.- Calcular, si es posible, el punto de corte de estas dos rectas. Estudiar, así mismo, su posición relativa:
$r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$
$s\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x=3+4\lambda\\y=3+6\lambda\\z=4+8\lambda \end{array} \right.$
PROBLEMA 3.- Halla la ecuación de la recta que cumpla las condiciones siguientes:
a) Es paralela a la recta de ecuaciones: $r\equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x+2z=3\\y+3z=5 \end{array} \right.$
b) Pasa por el punto de intersección de la recta r con el plano $\pi$:
$s\equiv\frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{3}$; $\pi\equiv x-y+z=7$
PROBLEMA 4.- Hallar la recta determinada por la intersección de los planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$:
$\pi_{1}: \equiv\left\{ \begin{array}{lcc} x=2-\mu\\y=3\lambda+\mu\\z=3-3\lambda \end{array} \right.$
$\pi_{2}: x+y-z=3$
PROBLEMA 5.- Obtén el valor de $a$ para el cual las rectas $r$ y $s$ se corten:
$r:x=y=z-a$; $s\equiv\frac{2x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{0}$
Calcula el punto de corte de $r$ y $s$ para el valor de $a$ que has calculado.
PROBLEMA 6.- Dados los planos $mx+2y-3z-1=0$ y $2x-4y+6z+5=0$, halla $m$ para que sean:
a) Paralelos
b) Perpendiculares.
PROBLEMA 7.- Estudia la posición relativa de los tres planos en cada uno de los siguientes casos:
a) $\left\{ \begin{array}{lcc} x+2y-z-3=0\\3y+2z-1=0\\x+y+z-2=0 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{lcc} 2x-y+z-3=0\\x-y+z-2=0\\3x-y+z-4=0 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{lcc} x-y+z-1=0\\3x+y-2z=0\\2x+2y-3z+4=0 \end{array} \right.$
PROBLEMA 8.- Considera las rectas siguientes:
$r: \frac{x-1}{2}=y=z-2$; y $s: \left\{ \begin{array}{lcc} x-2z=5\\x-2y=11\end{array} \right.$
a) Comprueba que $r$ y $s$ son paralelas.
b) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a $r$ y a $s$.
PROBLEMA 9.- Estudia la posición relativa de la recta y el plano siguientes:
$r:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$
$\pi:x-y+z-3=0$
PROBLEMA 10.- Determina la ecuación de un plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(-2, 1, 0)$:
$r\equiv x+2=\frac{y-1}{-2}=z$
PROBLEMA 11.- Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a otra recta $s$, que se cruza con $r$:
$r\equiv\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{3}$
$s=\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$
PROBLEMA 12.- Calcula $m$ y $n$ para que los planos siguientes sean paralelos:
$α:mx+y-3z-1=0$
$β:2x+ny-z-3=0$
¿Pueden ser $α$ y $β$ coincidentes?
PROBLEMA 13.- Dados los vectores $\vec u(2, 3, 5)$, $\vec v(6, -3, 2)$, $\vec w(4, -6, 3)$, $\vec p(8, 0, a)$ y los planos:
$\pi:(x, y, z)=(1, 2, 3)+λ\vec u+μ\vec v$
$\pi^´:(x, y, z)=(1, 2, 3)+λ\vec w+μ \vec p$
estudia la posición relativa de $\pi$ y $\pi^´$ según los valores de $a$.
PROBLEMA 14.- Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de $m$:
$\left\{ \begin{array}{lcc} x+y=1\\my+z=0\\x+(1+m)y+mz=m+1\end{array} \right.$
PROBLEMA 15.- Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r:\left\{ \begin{array}{lcc} x=2+3λ\\y=-1-λ\\z=λ\end{array} \right.$ y es paralelo a:
$s:\frac{x-3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$
PROBLEMA 16.-
a) Halla la ecuación de un plano $\pi_1$ que pasa por el punto $A(-1, -1, 1)$ y cuyo vector normal es $\vec v(1, -2, -1)$.
b) Determina las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que se obtiene al cortarse $\pi_1$ con $\pi_2:z-1=0$.
PROBLEMA 17.- Halla los valores de $m$ y $n$ para que las rectas $r$ y $s$ sean paralelas:
$\left\{ \begin{array}{lcc} x=5+4λ\\y=3+λ\\z=-λ\end{array} \right.$
$s:\frac{x}{m}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+3}{n}$
PROBLEMA 18.- Considera las rectas siguientes:
$r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$
$s:\left\{ \begin{array}{lcc} x-2z=5\\x-2y=11\end{array} \right.$
a) Comprueba que $r$ y $s$ son paralelas.
b) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a $r$ y a $s$.
PROBLEMA 19.- Determina, en cada caso, el valor de $k$ para que las rectas $r$ y $s$ sean coplanarias. Halla, después, el plano que las contiene:
a) $r:\frac{x}{1}=\frac{y-k}{1}=\frac{z}{0}$
$s:\left\{ \begin{array}{lcc} x=1+λ\\y=1-λ\\z=-1+λ\end{array} \right.$
b) $r:\frac{x-6}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-3}{1}$
$s:\left\{ \begin{array}{lcc} x=6+6λ\\y=4+kλ\\z=3+2λ\end{array} \right.$
PROBLEMA 20.- Estudia las posiciones relativas del plano $\pi: x+ay-z=1$ y de la recta $r:\left\{ \begin{array}{lcc} 2x+y-az=2\\x-y-z=a-1\end{array} \right.$ según los valores de $a$.
PROBLEMA 21.- Dados la recta $r:PROBLEMA 20.- Estudia las posiciones relativas del plano $\pi: x+ay-z=1$ y de la recta $r:\left\{ \begin{array}{lcc} 2x+y-az=2\\x-y-z=a-1\end{array} \right.$ según los valores de $a$. y el plano $\pi:x+2y+3z-1=0$, halla la ecuación de una recta $s$ contenida en el plano $\pi$ que pase por el punto $P(2, 1, -1)$ y sea perpendicular a $r$.
El vector dirección de $s$ ha de ser perpendicular al vector dirección de $r$ y al vector normal del plano.
PROBLEMA 22.- Halla las ecuaciones de la recta $r$ que pasa por el punto $P(2, 0, -1)$ y corta a las rectas:
$s_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{1}$
$s_2:\left\{ \begin{array}{lcc} x+y+4=0\\y-3z+3=0\end{array} \right.$